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1 极端的情况对于生日问题我们可以这样描述:假设每个同学的出生日期

简介: 1 极端的情况对于生日问题我们可以这样描述:假设每个同学的出生日期都是相互独立的,并且每个同学都等可能地出生在一年中的任何一天(2月29日除外),那么要有多少人才能保证其中至少两个同学的生日在同一天的概率我们不考虑闰年

实际上,我们通过数学计算可以得知其实并不需要那么多同学,仅仅只需50人的班级中,就有非常高的概率会出现这种情况,很反直觉吧!

1 极端的情况对于生日问题我们可以这样描述:假设每个同学的出生日期都是相互独立的,并且每个同学都等可能地出生在一年中的任何一天(2月29日除外),那么要有多少人才能保证其中至少两个同学的生日在同一天的概率我们不考虑闰年,假设一年只有365天,因此只要一个年级有366个同学就一定会出现“至少两个人的生日在同一天”,因此必然是2到365的某个数。

想想另一种极端情况,如果一个年级有184个同学,那么至少两个人的生日在同一天的概率一定不小于50%,为什么呢?

想想如果前183个同学的生日互不相同(比方说这183个同学的生日正好就是一年的第1~183天),那么对于第184个同学来说,他与前面183个同学中的某人同一天生日的概率就至少为50%!

这并不难理解:因为一年中过半的日期已经被占用了,最后一个同学要么和前183个同学中的某人同一天生日,要么生日是在剩下的182天中。

这样我们就又缩小了范围:这个问题的解一定满足并且,直觉告诉我们,肯定是人越多(越大),“至少两人生日在同一天”的概率越大。

2 穷举法我们可以尝试用穷举法来求解这个问题,比如说一种简单的情况:当时,这两个人所有可能的生日排布方法一共有这很容易理解:因为对第一个人来说,他的生日有365种可能,第二个人也有365种可能。

在这133225种组合中,两个人生日在同一天的组合只有365种,这也不难理解:如果两个人生日在同一天,那么只要选定了第一个人的生日,第二个人的生日就只有唯一一种可能。

因此当只有两个人的时候,概率的计算非常简单:再来看的情况,那么易得所有可能的生日排布方法有计算分母很容易,但在计算分子时要特别当心。

因为我们要算的是“至少两人生日在同一天”,因此这里我们需要分类讨论:有且只有两个人生日在同一天三个人生日在同一天对于第一种情况,我们可以这样计算:假设前两个人生日在同一天,第三个人生日与他们不同,则共有(第一个人的生日可以是一年365天中的任何一天,第二个人的生日必须与第一个人相同,而第三个人的生日只能从剩下的364天中选取)类似地,易知这种情况会出现3次:因此这种情况包含的组合数为别忘记还有一个很特殊的情况:三个人生日相同,这种情况包含的组合数为365种。

3 计算对立的概率因此,穷举法在这个问题中不是一个理想、高效的方法,我们需要更好的思路。

很显然,如果我们记则其对立为而计算“所有人的生日都互不相同”这件事的概率是容易的,举个例子,当时,其概率为当时,其概率为沿着这个思路,对于一般情况来说,当人数为时,其概率为使用连乘符号,我们可以把这个结果改写成也许你对这个符号不太熟悉,它是由求和符号推广而来的,我们知道相应地,有对上面的表达式再进行一些简单的处理,得到4 程序实现上述这个代数式计算的是“至少两人生日在同一天”的对立“所有人的生日都互不相同”的概率,因此我们需要使得大数的阶乘计算起来并不容易,我们可以借助数学软件帮助我们计算,设计一个简单的解决生日问题的程序:noshare = {{1, 1}};share = {{1, 0}};currentnoshare = 1;For[n = 2, n <= 50, n++,{newfactor = (365 - (n - 1))/365;currentnoshare = currentnoshare*newfactor;noshare = AppendTo[noshrae, {n, 1.0 currentnoshare}];share = AppendTo[share, {n, 1.0 - currentnoshare}];}]Print[ListPlot[share, AxesLabel -> {"人数n", "概率P"}]]我们可以得到如下图像:从图中我们可以看出,当时,概率约为,当时,概率已经攀升到了,当时,概率变为了惊人的!

也就是说,在一个50人的班级中,将有非常大的可能会有两个同学生日在同一天!

下次你便可以和你的小伙伴打赌了:嘿,朋友,你信不信咱们班一定有两位同学是同一天生日?


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